SUBROUTINE  exner ( ngrid, ps, p, pks, pk, pkf )
c
c     Auteurs :  P.Le Van  , Fr. Hourdin  .
c    ..........
c
c    .... ngrid, ps,p  sont des argum.d'entree  au sous-prog.   ....
c    .... pks,pk,pkf   sont des argum.de sortie au sous-prog.   ....
c
c   ************************************************************************
c    Calcule la fonction d'Exner pk = Cp * p ** kappa , aux milieux des 
c    couches .   Pk(l) sera calcule aux milieux  des couches l ,entre les
c    pressions p(l) et p(l+1) ,definis aux interfaces des llm couches .
c   ************************************************************************
c  .. N.B : Au sommet de l'atmosphere,  p(llm+1) = 0. , et ps et pks sont
c    la pression et la fonction d'Exner  au  sol  .
c
c                                 -------- z                                   
c    A partir des relations  ( 1 ) p*dz(pk) = kappa *pk*dz(p)      et
c                            ( 2 ) pk(l) = alpha(l)+ beta(l)*pk(l-1)
c    ( voir note de Fr.Hourdin )  ,
c
c    on determine successivement , du haut vers le bas des couches, les 
c    coef. alpha(llm),beta(llm) .,.,alpha(l),beta(l),,,alpha(2),beta(2), 
c    puis pk(ij,1). Ensuite ,on calcule,du bas vers le haut des couches,  
c     pk(ij,l)  donne  par la relation (2),  pour l = 2 a l = llm .
c
c
      IMPLICIT NONE
c
#include "dimensions.h"
#include "paramet.h"
#include "comconst.h"
#include "comvert.h"

      INTEGER  ngrid
      REAL p(ngrid,llmp1),pk(ngrid,llm),pkf(ngrid,llm)
      REAL ps(ngrid),pks(ngrid)
      INTEGER l, ij
      REAL alpha(ngrid,llm),beta(ngrid,llm),unpl2k,delta
      EXTERNAL filtreg
c
      unpl2k    = 1.+ 2.* kappa
c
      DO   ij  = 1, ngrid
       pks(ij) = cpp * (ps(ij)/preff) ** kappa
      ENDDO
c
c    .... Calcul des coeff. alpha et beta  pour la couche l = llm ..
c
      DO     ij      = 1, ngrid
       alpha(ij,llm) = 0.
       beta (ij,llm) = 1./ unpl2k
      ENDDO
c
c     ... Calcul des coeff. alpha et beta  pour l = llm-1  a l = 2 ...
c
      DO l = llm -1 , 2 , -1
c
        DO ij = 1, ngrid
        delta = p(ij,l)* unpl2k + p(ij,l+1)* ( beta(ij,l+1)-unpl2k )
        alpha(ij,l)  = - p(ij,l+1) / delta * alpha(ij,l+1)
        beta (ij,l)  =   p(ij,l  ) / delta   
        ENDDO
c
      ENDDO
c
c  ***********************************************************************
c     .....  Calcul de pk pour la couche 1 , pres du sol  ....
c
      DO   ij   = 1, ngrid
       pk(ij,1) = ( p(ij,1)*pks(ij) - 0.5*alpha(ij,2)*p(ij,2) )  /
     *    (  p(ij,1)* (1.+kappa) + 0.5*( beta(ij,2)-unpl2k )* p(ij,2) )
      ENDDO
c
c    ..... Calcul de pk(ij,l) , pour l = 2 a l = llm  ........
c
      DO l = 2, llm
        DO   ij   = 1, ngrid
         pk(ij,l) = alpha(ij,l) + beta(ij,l) * pk(ij,l-1)
        ENDDO
      ENDDO
c
c
      CALL SCOPY   ( ngrid * llm, pk, 1, pkf, 1 )
      CALL filtreg ( pkf, jmp1, llm, 2, 1, .true., 1)

      RETURN
      END